1. P versus NP
El primer problema trata sobre si para todos los problemas que un ordenador puede verificar (NP) rápidamente, también puede encontrar la
solución (P) rápidamente. Cuando decimos rápidamente, en este caso
estamos hablando de tiempo polinómico (asumible dentro de una función
polinómica). A pesar de lo abstracto del planteamiento, si se
consiguiera demostrar que P fuera = NP, esto querría decir que los
ordenadores tendrían los recursos suficientes - la capacidad- de
resolver cualquier problema que se planteara. El problema matemático no
se refiere a construir el ordenador que fuera capaz de hacerlo, si no a
demostrar si dicho ordenador sería posible. Irónicamente, si se
demostrara que P=NP, significaría por supuesto que el resto de problemas
del milenio podrían resolverse.
2. La conjetura de Hodge
Al
bueno de Hodge se le ocurrió preguntarse si era cierto que para
variedades algebraicas proyectivas (grupos de soluciones espaciales),
los ciclos son combinaciones lineales racionales de ciclos algebraicos.
Demostrar que esto es cierto facilitaría enormemente los cálculos en
topología algebraica, pero no tendría un fin práctico en si mismo.
3. Teorema de Poincaré
Henri
Poincaré dejó abierta la pregunta de si cualquier porción de una esfera
podría convertirse a su vez en una esfera. De nuevo, se trata de un
problema de topología, aunque este es el único de los 7 problemas que ha
sido resuelto hasta la fecha. El matemático que lo ha demostrado
es el ruso Grigori Perelman, que renunció tanto
al premio en efectivo como a la Medalla Fields.
4. La hipótesis de Riemann
Esta
hipótesis está considerada el problema más importante de matemática
pura. Supone que en la función de una variable compleja de la suma de
series infinitas (la función Z), la distribución de sus ceros tomarían
el valor 1/2. La demostración de esta hipótesis serviría para conocer la
distribución de los números primos, el crecimiento de funciones
aritméticas y muchas otras aplicaciones en matemáticas, probabilidad y
física.
5. Existencia de Yang-Mills y del intervalo de masa
El Modelo Estándar de la
física de partículas se apoya en la teoría del campo cuántico, sin
embargo, aún debe demostrarse que esta teoría satisface al mismo tiempo
la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad especial, es decir,
que obedezca las leyes de la física que conocemos. Yang-Mills es el
nombre que se le da a esta teoría y lo del intervalo (gap) de masa se
debe a que se debe demostrar que los gluones tienen masa distinta de
cero (ya que se consideraba que tenían carga de color pero no masa).
6. Las ecuaciones de Navier-Stokes
Estas
ecuaciones ser refieren a los movimientos de un fluido. Aunque se
conoce bastante sobre las propiedades físicas de los fluidos, no existe
una solución general a estas ecuaciones, que nos permitirían conocer el
funcionamiento de las mareas, la atmósfera, etcétera.
7. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
La
conjetura se plantea si las ecuaciones que definen curvas elípticas
tienen un número finito o infinito de soluciones racionales. Si pudiera
encontrarse una solución general a estas ecuaciones, se ahorrarían
millones de horas en cálculos computacionales. Aunque
parezca mentira, la resolución de estos problemas tendría un efecto
multiplicador en todas las ramas de la ciencia que utilizan las
matemáticas como herramienta, llegando a su vez a nuevas soluciones, o
facilitando enormemente la resolución de problemas de cálculo. Veríamos
importantes avances en campo tan dispares como la astrofísica
(confirmando o desechando teorías sobre el orígen y estructura del
universo) o la bioquímica (cálculo de nuevas combinaciones de proteínas
de manera asumible, que podrían ayudar a encontrar una cura para el
cáncer).
Fuente: Gacetilla matemática
