El hotel de Hilbert

Los conjuntos infinitos tienen siempre un costado atractivo: atentan contra la intuición. Supongamos que hubiera un número infinito de personas en el mundo. Y supongamos también que hay un hotel, en una ciudad, que contiene infinitas habitaciones. Estas habitaciones están numeradas, y a cada una le corresponde un número natural. Así entonces, la primera lleva el número 1, la segunda el 2, la tercera el 3, etcétera. Es decir: en la puerta de cada habitación hay una placa con un número, que sirve de identificación.

Ahora, supongamos que todas las habitaciones están ocupadas y sólo por una persona. En un momento determinado, llega al hotel un señor con cara de muy cansado. Es tarde en la noche y todo lo que este hombre espera es terminar rápido con el papelerío para irse a descansar. Cuando el empleado de la recepción le dice: “lamentablemente no tenemos ninguna habitación disponible ya que todas las habitaciones están ocupadas”, el recién llegado no lo puede creer. Y le pregunta:
—Pero cómo... ¿No tienen ustedes infinitas habitaciones?
—Sí —responde el empleado del hotel.
—Entonces, ¿cómo me dice que no le quedan habitaciones
disponibles?
—Y sí, señor. Están todas ocupadas.
—Vea. Lo que me está contestando no tiene sentido. Si usted no tiene la solución al problema, lo ayudo yo.
Y aquí conviene que ustedes piensen la respuesta. ¿Puede ser correcta la respuesta del conserje “no hay más lugar”, si el hotel tiene infinitas habitaciones? ¿Se les ocurre alguna solución?
Aquí va:
—Vea —continuó el pasajero—. Llame al señor de la habitación que tiene el número 1 y dígale que pase a la que tiene el 2.
A la persona que está en la habitación 2, que vaya a la del 3. A la del 3, que pase a la del 4. Y así siguiendo. De esta forma, toda persona seguirá teniendo una habitación, que “no compartirá” con nadie (tal como era antes), pero con la diferencia de que ahora quedará una habitación libre: la número 1. El conserje lo miró incrédulo, pero comprendió lo que le decía el pasajero. Y el problema se solucionó.
Ahora bien, algunos problemas más:
a) Si en lugar de llegar un pasajero, llegan dos, ¿qué sucede? ¿Tiene solución el problema?
b) ¿Y si en lugar de dos, llegan cien?
c) ¿Cómo se puede resolver el problema si llegan n pasajeros inesperadamente durante la noche (donde n es un número cualquiera). ¿Siempre tiene solución el problema independientemente del número de personas que aparezcan buscando una pieza para dormir?
d) ¿Y si llegaran infinitas personas? ¿Qué pasaría en ese
caso?

Fuente: Matemática... ¿Estás ahí?, Adrián Paenza.