Los 7 problemas del milenio

1. P versus NP

 

El primer problema trata sobre si para todos los problemas que un ordenador puede verificar (NP) rápidamente, también puede encontrar la solución (P) rápidamente. Cuando decimos rápidamente, en este caso estamos hablando de tiempo polinómico (asumible dentro de una función polinómica). A pesar de lo abstracto del planteamiento, si se consiguiera demostrar que P fuera = NP, esto querría decir que los ordenadores tendrían los recursos suficientes - la capacidad- de resolver cualquier problema que se planteara. El problema matemático no se refiere a construir el ordenador que fuera capaz de hacerlo, si no a demostrar si dicho ordenador sería posible. Irónicamente, si se demostrara que P=NP, significaría por supuesto que el resto de problemas del milenio podrían resolverse.

2. La conjetura de Hodge

Al bueno de Hodge se le ocurrió preguntarse si era cierto que para variedades algebraicas proyectivas (grupos de soluciones espaciales), los ciclos son combinaciones lineales racionales de ciclos algebraicos. Demostrar que esto es cierto facilitaría enormemente los cálculos en topología algebraica, pero no tendría un fin práctico en si mismo. 

3. Teorema de Poincaré

Henri Poincaré dejó abierta la pregunta de si cualquier porción de una esfera podría convertirse a su vez en una esfera. De nuevo, se trata de un problema de topología, aunque este es el único de los 7 problemas que ha sido resuelto hasta la fecha. El matemático que lo ha demostrado es el ruso Grigori Perelman,  que renunció tanto al premio en efectivo como a la Medalla Fields.

4. La hipótesis de Riemann

Esta hipótesis está considerada el problema más importante de matemática pura. Supone que en la función de una variable compleja de la suma de series infinitas (la función Z), la distribución de sus ceros tomarían el valor 1/2. La demostración de esta hipótesis serviría para conocer la distribución de los números primos, el crecimiento de funciones aritméticas y muchas otras aplicaciones en matemáticas, probabilidad y física.

5. Existencia de Yang-Mills y del intervalo de masa

El Modelo Estándar de la física de partículas se apoya en la teoría del campo cuántico, sin embargo, aún debe demostrarse que esta teoría satisface al mismo tiempo la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad especial, es decir, que obedezca las leyes de la física que conocemos. Yang-Mills es el nombre que se le da a esta teoría y lo del intervalo (gap) de masa se debe a que se debe demostrar que los gluones tienen masa distinta de cero (ya que se consideraba que tenían carga de color pero no masa).

6. Las ecuaciones de Navier-Stokes

Estas ecuaciones ser refieren a los movimientos de un fluido. Aunque se conoce bastante sobre las propiedades físicas de los fluidos, no existe una solución general a estas ecuaciones, que nos permitirían conocer el funcionamiento de las mareas, la atmósfera, etcétera.

7. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

La conjetura se plantea si las ecuaciones que definen curvas elípticas tienen un número finito o infinito de soluciones racionales. Si pudiera encontrarse una solución general a estas ecuaciones, se ahorrarían millones de horas en cálculos computacionales. Aunque parezca mentira, la resolución de estos problemas tendría un efecto multiplicador en todas las ramas de la ciencia que utilizan las matemáticas como herramienta, llegando a su vez a nuevas soluciones, o facilitando enormemente la resolución de problemas de cálculo. Veríamos importantes avances en campo tan dispares como la astrofísica (confirmando o desechando teorías sobre el orígen y estructura del universo) o la bioquímica (cálculo de nuevas combinaciones de proteínas de manera asumible, que podrían ayudar a encontrar una cura para el cáncer).

Fuente: Gacetilla matemática